Question

函数y=f（x）（x∈R）满足f（1）=l，f′（x）＜

1

2

，则不等式f（x）＜

x

2

+

1

2

的解集为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性和不等关系最密切．由f′（x）＜

1

2

，构造单调递减函数h（x）=f（x）-

1

2

x，运用单调递减性求解即可．

解答： 解：∵f′（x）＜

1

2

，
∴f′（x）-

1

2

＜0，
设h（x）=f（x）-

1

2

x，
则h′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴h（x）是R上的减函数，且h（1）=f（1）-

1

2

=1-

1

2

=

1

2

．
不等式f（x）＜

x

2

+

1

2

，
即为f（x）-

1

2

x＜

1

2

，
即h（x）＜h（1），
得x＞1，
∴原不等式的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评：本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键．