Question

18．已知向量$\overrightarrow a=（{1，sinx}）$，$\overrightarrow b=（{cos（{2x+\frac{π}{3}}），sinx}）$，函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$cos2x．
（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=$\sqrt{3}$且f（C）=0，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积运算和三角恒等变换求出f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间；
（2）由f（C）=0求出角C，再由正弦定理表示出a、b，利用三角恒等变换和三角函数的有界性求出△ABC周长的取值范围．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a=（{1，sinx}）$，$\overrightarrow b=（{cos（{2x+\frac{π}{3}}），sinx}）$，
函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$cos2x
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x-$\frac{1}{2}$cos2x
=cos2xcos$\frac{π}{3}$-sin2xsin$\frac{π}{3}$+$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{7π}{6}$）+$\frac{1}{2}$；
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{7π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$kπ-\frac{5π}{6}≤2x+\frac{7π}{6}≤kπ-\frac{π}{3}$，k∈Z；
所以函数f（x）的单调递增区间为$[{kπ-\frac{5π}{6}，kπ-\frac{π}{3}}]$，k∈Z；
（2）由（1）$f（C）=sin（{2C+\frac{7π}{6}}）+\frac{1}{2}=0$，
又C为△ABC的内角，所以$2C+\frac{7π}{6}=\frac{11π}{6}$，
解得$C=\frac{π}{3}$；
又c=2，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
所以a=2sinA，b=2sinB，
所以$a+b=2sinA+2sinB=2[{sinA+sin（{\frac{2π}{3}-A}）}]=2（{\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA}）=2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）$；
由$C=\frac{π}{3}$，且$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
所以$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以$\frac{1}{2}＜sin（{A+\frac{π}{6}}）≤1$，
所以$\sqrt{3}＜2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）≤2\sqrt{3}$，
所以△ABC的周长的取值范围是$（{2\sqrt{3}，3\sqrt{3}}]$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算和三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．