题目内容
14．在平行四边形ABCD中，AC与DB交于点O，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．（Ⅰ）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{BD}$；
（Ⅱ）若E为DO的中点，$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$，求λ+μ的值．
分析 （Ⅰ）根据平行四边形对边平行且相等，利用平面向量的线性表示，即可求出结果；
（Ⅱ）根据平面向量的线性运算与线性表示，即可求出λ与μ的值．
解答 
解：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AC与DB交于点O，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，
所以$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$；
（Ⅱ）当E为DO的中点时，$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DO}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DB}$=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$，
所以$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$；
又$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$，
所以λ=$\frac{1}{4}$，μ=$\frac{3}{4}$，
∴λ+μ=1．
点评 本题考查了平面向量的线性运算与线性表示的应用问题，是基础题目．
点睛新教材全能解读系列答案
小学教材完全解读系列答案| A． | 相交 | B． | 相离 | C． | 相交或相切 | D． | 相切 |
| A． | f（b）＞$\frac{1-2ln2}{4}$ | B． | f（b）＜$\frac{1-2ln2}{4}$ | C． | f（b）＞$\frac{3+2ln2}{8}$ | D． | f（b）＜$\frac{4+3ln2}{8}$ |
已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交x轴、y轴于A、B两点上，且满足$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$．