Question

12．已知直线l：x-my+3=0和圆C：x²+y²-6x+5=0
（1）当直线l与圆C相切时，求实数m的值；
（2）当直线l与圆C相交，且所得弦长为$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$时，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由配方法求出圆心坐标和半径，由直线与圆相切的条件和点到直线的距离公式列出方程，求出m的值；
（2）由弦长公式和点到直线的距离公式列出方程，求出m的值．

解答 解：（1）由x²+y²-6x+5=0得，（x-3）²+y²=4，
∴圆心C为（3，0），r=2；
∵直线x-my+3=0与圆C相切，∴$\frac{|3+3|}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-m}）}^2}}}}=2$
解得m=$2\sqrt{2}$或m=$-2\sqrt{2}$；
（2）设圆心C到直线l的距离为d，且弦长为$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，
由勾股定理得：$d=\sqrt{{2^2}-{{（{\frac{{2\sqrt{10}}}{5}}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{10}}}{5}$，
由点到直线的距离公式得，$d=\frac{|3+3|}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-m}）}^2}}}}$，
∴$\frac{|3+3|}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-m}）}^2}}}}$=$\frac{{3\sqrt{10}}}{5}$，解得m=±3．
所以实数m的值为3或-3．

点评 本题考查直线与圆的位置关系：相切和相交问题，弦长公式、点到直线的距离公式，以及方程思想．