Question

函数f（x）=（2+cosx）（2+sinx）的最小值为

9

2

-2

2

．

Answer 1

分析：展开多项式，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值．

解答：解：函数f（x）=（2+cosx）（2+sinx）=4+2（sinx+cosx）+sinxcosx，
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)则-

2

≤t≤

2

∴sinxcosx=

t2-1

2

∴y=

1

2

t2+2t+

7

2

=

1

2

(t+2)2+

3

2

，（-

2

≤t≤

2

）
对称轴t=-2，函数在-

2

≤t≤

2

是增函数，
∴当t=-

2

时，y有最小值

9

2

-2

2

．
故答案为：

9

2

-2

2

点评：本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的最值的求法．