题目内容
20．设数列数列{bn}满足bn+1=$\frac{1}{2}$bn+$\frac{1}{4}$，且b1=$\frac{7}{2}$，Tn为{bn}的前n项和．（1）求证：数列{bn-$\frac{1}{2}$}是等比数列并求数列{bn}的通项公式；
（2）如果对任意n∈N*，不等式$\frac{2{T}_{n}+3•{2}^{2-n}-10}{k}$≤n2+4n+5若恒成立，求实数k的取值范围．
分析 （1）由bn+1=$\frac{1}{2}$bn+$\frac{1}{4}$，两边同时减$\frac{1}{2}$，运用等比数列的定义和通项公式，计算即可得到所求；
（2）运用等比数列的求和公式，可得Tn，原不等式即为$\frac{1}{k}$≤$\frac{{n}^{2}+4n+5}{n+2}$=（n+2）+$\frac{1}{n+2}$，运用对勾函数的单调性可得最小值，进而得到k的范围．
解答 解：（1）证明：由bn+1=$\frac{1}{2}$bn+$\frac{1}{4}$，可得
bn+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$bn+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$，即为bn+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（bn-$\frac{1}{2}$），
由等比数列的定义可得数列{bn-$\frac{1}{2}$}是首项为$\frac{7}{2}$-$\frac{1}{2}$=3，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
可得bn-$\frac{1}{2}$=3•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，即为bn=$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）Tn=$\frac{n}{2}$+3•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{n}{2}$+6（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
不等式$\frac{2{T}_{n}+3•{2}^{2-n}-10}{k}$≤n2+4n+5，即为$\frac{n+2}{k}$≤n2+4n+5，
即有$\frac{1}{k}$≤$\frac{{n}^{2}+4n+5}{n+2}$=（n+2）+$\frac{1}{n+2}$，
由（n+2）+$\frac{1}{n+2}$在n∈N*递增，可得n=1时，取得最小值$\frac{10}{3}$．
即有$\frac{1}{k}$≤$\frac{10}{3}$，解得k＜0或k≥$\frac{3}{10}$．
则实数k的取值范围是（-∞，0）∪[$\frac{3}{10}$，+∞）．
点评 本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，同时考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
| A． | x-2y+3=0 | B． | x-2y+5=0 | C． | x+2y-5=0 | D． | x+2y-$\sqrt{5}$=0 |