Question

9．已知函数f（x）=e^x-3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当$a＞ln\frac{3}{e}$，且x＞0时，$\frac{e^x}{x}＞\frac{3}{2}x+\frac{1}{x}-3a$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，列出变化表，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题等价于${e^x}＞\frac{3}{2}{x^2}-3ax+1$，设$g（x）={e^x}-\frac{3}{2}{x^2}+3ax-1$，根据函数的单调性证明即可．

解答 （ I）解　由f（x）=e^x-3x+3a，x∈R知f′（x）=e^x-3，x∈R．…（1分）
令f′（x）=0，得x=ln 3，…（2分）
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表．

x	（-∞，ln 3）	ln 3	（ln 3，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	3（1-ln 3+a）	↑

故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln 3]，
单调递增区间是[ln3，+∞），…（5分）
f（x）在x=ln 3处取得极小值，极小值为f（ln 3）=e^ln3-3ln 3+3a=3（1-ln 3+a）．…（6分）
（II）证明：待证不等式等价于${e^x}＞\frac{3}{2}{x^2}-3ax+1$…（7分）
设$g（x）={e^x}-\frac{3}{2}{x^2}+3ax-1$，x∈R，
于是g'（x）=e^x-3x+3a，x∈R．
由（ I）及$a＞ln\frac{3}{e}=ln3-1$知：g'（x）的最小值为g′（ln 3）=3（1-ln 3+a）＞0．…（9分）
于是对任意x∈R，都有g'（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当$a＞ln\frac{3}{e}=ln3-1$时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．  …（10分）
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即${e^x}＞\frac{3}{2}{x^2}-3ax+1$，故$\frac{e^x}{x}＞\frac{3}{2}x+\frac{1}{x}-3a$                   …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．