Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+与椭圆C交于A、B两点，求K的取值范围；
（3）若以AB为直径作圆，过点O作圆的切线可作两条，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆的半焦距为c，根据椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为，可求椭圆C的方程；
（2）将直线y=kx+代入椭圆C的方程，可得，根据直线y=kx+与椭圆C交于A、B两点，可得，从而可求k的取值范围．
（3）以AB为直径作圆，过点O作圆的切线可作两条，则点O在圆外．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂＞0，利用韦达定理，由此可求k的取值范围．
解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，则由题意
∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
∴，∴，∴
∴椭圆C的方程为；
（2）将直线y=kx+代入椭圆C的方程，可得
∵直线y=kx+与椭圆C交于A、B两点
∴
∴
∴或；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵，
∴x₁x₂+y₁y₂=
=
==
∴5-3k²＞0
∵
∴
∴或
点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将以AB为直径作圆，过点O作圆的切线可作两条，转化为点O在圆外