Question

已知f（x）=ksinx+kcosx+sinxcosx+1
（1）若f（x）≥0在[0，

3π

4

]上恒成立，求实数k的取值范围
（2）当k＞

2

时，求方程f（x）=0在[-2π，2π]上实数根的个数．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，进一步利用换元法，利用转化法结合恒成立问题求出参数的取值范围．
（2）利用（1）的结论进一步利用根和系数的关系及一元二次方程的根进一步利用关系式求出根的个数．

解答： 解：（1）f（x）=ksinx+kcosx+sinxcosx+1
=k（sinx+cosx）+sinxcosx+1
因为：（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx
所以：sinxcosx=

(sinx+cosx)2-1

2

设sinx+cosx=t
则：sinxcosx=

t2-1

2

又sinx+cosx=t=

2

sin(x+

π

4

)
因为：x∈[0，

3π

4

]
所以：x+

π

4

∈[

π

4

，π]
t∈（0，

2

]
所以f（x）=ksinx+kcosx+sinxcosx+1可转化为：
g（t）=kt+

t2-1

2

+1=

t2+1

2

+kt
要使f（x）≥0，等价于g（t）=

t2+1

2

+kt≥0在（0，

2

]上恒成立．
由

t2+1

2

+kt≥0得到：k≥-

t2+1

2t

=-

1

2

(t+

1

t

)
又-

1

2

(t+

1

t

)≤-1
当且仅当t=1时，等号成立．
故k≥-1
（2）由（1）知f（x）=0等价于

t2+1

2

+kt=0
即：t²+2kt+1=0①
其中sinx+cosx=t=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
当k＞

2

时，△=4k²-4＞0在①式上的两个实数根t₁，t₂
由根和系数的关系得：t₁t₂=1
不妨设：t1=

-2k+ 4k2-4

2

=-k+

k2-1

t2=

-2k- 4k2-4

2

=-k-

k2-1

由于k＞

2

所以：-k-

k2-1

＜-k＜-

2

解得：t1∈(-

2

2

，0)
①式在[-

2

，

2

]上仅有一个实数根t1∈(-

2

2

，0)
即sin(x+

π

4

)=

2

2

t1∈(-

1

2

，0)
此时方程f（x）=0在[-2π，2π]上有4个实数根．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，换元法的应用，根和系数的关系的应用，求根公式法的应用．及相关的运算问题，属于难题．