Question

已知函数．

(1) 当时，讨论的单调性；

(2)设,当若对任意存在 使求实数的取值范围。

 

Answer 1

（1）f(x)在(0,1)，（）上是增函数，在（1，）上是减函数；（2）．

【解析】

试题分析：(1)根据题意可以求得，当，即时，可通过列表通过f’(x)的正负性来判断f(x)的单调性；

可将变形为，∴问题就等价于求当存在，使成立的b的取值范围，而，∴问题进一步等价于求存在，使时b的取值范围，通过参变分离，可得存在，求使2b≥成立b的范围，∴只需2b≥即可．

（1） 3分

当，即时，此时f(x)的单调性如下：

x	（0，1）	1	（1，）		（）
	+	0	-	0	+
f(x)	增		减		增

 

当时，f(x)在(0,1)，（）上是增函数，在（1，）上是减函数 7分；

（2）由（1）知，当时，f(x)在(0,1)上是增函数，在（1，2）上是减函数．

于是时， 8分

从而存在使）= 10分

变形可得存在存在使2b≥成立 11分

∴只需2b≥成立 12分

显然在(1,2)上单调递减，∴只需2b≥，即 14分

考点：1、利用导数讨论函数的单调性；2、利用导数求函数的最值解决恒成立问题与存在性问题．