Question

2．对任意|m|≤2，不等式x²+mx+1＞2x+m恒成立，则x的取值范围为（　　）

• A． x＞3或x＜-1
• B． x＞3
• C． x＜-1
• D． -1＜x＜3

Answer 1

分析 问题化为函数f（m）=m（x-1）+x²-2x+1在m∈[-2，2]时满足$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：∵|m|≤2，∴-2≤m≤2；
不等式x²+mx+1＞2x+m恒成立，
化为m（x-1）+x²-2x+1＞0恒成立；
设f（m）=m（x-1）+x²-2x+1，
则f（m）在m∈[-2，2]时满足$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＞0}\\{{x}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x＜1或x＞3}\\{x＜-1或x＞1}\end{array}\right.$，
即x＜-1或x＞3，
∴x的取值范围是x＜-1或x＞3．
故选：A．

点评 解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解，是基础题．