题目内容
13.已知函数y=f(x)满足f(4+x)=f(4-x),且当x≤4时,f(x)=$\frac{1}{4}$•2x.(1)求当x>4时,函数y=f(x)的解析式;
(2)若数列{an}的通项公式为an=f(n).求an的表达式.并求$\underset{lim}{n→∞}$an的值;
(3)若数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的表达式.并求$\underset{lim}{n→∞}$Sn的值.
分析 (1)由题意可得f(x)关于直线x=4对称,可得f(x)=f(8-x),由当x≤4时,f(x)的解析式,可得x>4时,8-x<4,代入即可得到所求解析式;
(2)运用分段形式写出数列{an}的通项,由极限公式即可得到所求值为0;
(3)运用等比数列的求和公式计算即可得到所求和;再由常见数列的极限公式计算即可得到所求值.
解答 解:(1)由函数y=f(x)满足f(4+x)=f(4-x),
可得f(x)关于直线x=4对称,
由当x≤4时,f(x)=$\frac{1}{4}$•2x=2x-2;
可得x>4时,8-x<4,有f(8-x)=$\frac{1}{4}$•28-x,
则f(x)=f(8-x)=26-x(x>4);
(2)an=f(n)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n-2},n=1,2,3,4}\\{{2}^{6-n},n>4,n∈N}\end{array}\right.$,
则$\underset{lim}{n→∞}$an=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{2}^{6}}{{2}^{n}}$=0;
(3)前n项和为Sn=a1+a2+a3+a4+a5+…+an=$\frac{1}{2}$+1+2+4+2+1+…+26-n=$\frac{15}{2}$+$\frac{2(1-\frac{1}{{2}^{n-4}})}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{23}{2}$-$\frac{4}{{2}^{n-4}}$,
则$\underset{lim}{n→∞}$Sn=求$\underset{lim}{n→∞}$($\frac{23}{2}$-$\frac{4}{{2}^{n-4}}$)=$\frac{23}{2}$-0=$\frac{23}{2}$.
点评 本题考查分段函数的解析式的求法,同时考查数列的通项和求和,注意运用等比数列的求和公式,考查数列极限的求法,注意运用常见数列的极限,属于中档题.
| A. | a2+b2>2ab | B. | |a|+|b|>2$\sqrt{ab}$ | C. | $\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2 | D. | ab+$\frac{1}{ab}$>2 |
| A. | $\frac{3\sqrt{5}}{5}$ | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\sqrt{5}$ |
| A. | 四棱锥四个侧面中不存在两组侧面互相垂直 | |
| B. | 四棱锥的四个侧面可能全是直角三角形 | |
| C. | 若该四棱锥的左视图为直角三角形,则体积为$\frac{4}{3}$ | |
| D. | 若该四棱锥的正视图为等腰三角形,则四棱锥的侧面积为6+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$ |
| A. | -$\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{\sqrt{7}}{4}$ | D. | -$\frac{1}{4}$ |
| A. | -$\frac{7}{25}$ | B. | $\frac{7}{25}$ | C. | -$\frac{24}{25}$ | D. | $\frac{24}{25}$ |