Question

（本小题满分13分）某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形是原棚户建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米．

（1）请计算原棚户区建筑用地的面积及圆面的半径的值；

（2）因地理条件的限制，边界、不能变更，而边界、可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点；使得棚户区改造的新建筑用地的面积最大，并求最大值．

 

Answer 1

（1）万米；（2）9万平方米．

【解析】

试题分析：（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径．

（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．

试题解析： （1）因为四边形ABCD内接于圆，

所以∠ABC＋∠ADC＝180°，连接AC，由余弦定理：

AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC＝42＋22－2×2×4cos∠ADC.

所以cos∠ABC＝，∵∠ABC∈（0，π），故∠ABC＝60°.

S四边形ABCD＝×4×6×s1n60°＋×2×4×s1n120°

＝8 （万平方米）． 3分

在△ABC中，由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC=16+36-246=28

由正弦定理，得

．

∴R＝ （万米） 7分

（2）∵S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，又S△ADC＝AD·CD·s1n120°＝2，

设AP＝x，CP＝y.则S△APC＝xy·s1n60°＝xy. 9分

又由余弦定理AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28.

∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.

∴xy≤28，当且仅当x＝y时取等号 11分

∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，

∴最大面积为9万平方米． 13分

考点：解三角形的实际应用．