Question

已知ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB， △OAC， △ODE， △ODF都是正三角形.
（Ⅰ）证明直线BC∥EF;
（Ⅱ）求棱锥F-OBED的体积.

Answer 1

（Ⅰ）（方法一）证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，
由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥,OB=,OG=OD=2
同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2，
又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合。
在△GED和△GFD中，由OB∥,OB=和OC∥, OC=,
可知B,C分别是GE和GF的中点，
所以BC是△GEF的中位线，
故BC∥EF.

（方法二）过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q，连QE，
由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED,
以Q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立空间直角坐标系。
由条件知E(，0,0)，F（0,0，），B（，-，0），
C（0，-),）。
则有，.。
所以，即得BC∥EF.

（Ⅱ）解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知S_EOB=
而△OED是边长为2的正三角形，故S_OED=
所以S_OBED=S_EOB+S_OED=。
过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，
由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ=，
所以V_F-OBED=FQ·S_OBED=。