Question

在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x,

(1)设点A的坐标为,求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.

(2)设点A的坐标为(a,0),a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值dmin,并写出dmin=f(a)的函数表达式.

 

Answer 1

（1）|PA|= （2）dmin=f(a)=

【解析】(1)设M(x,y)为曲线y2=2x上任意一点,

则|MA|2=+y2=x2+x+=+,

因为x∈[0,+∞),所以当x=0时,

|MA=+=,即|MA|min=.

所以距点A最近的点P坐标为(0,0),这时|PA|=.

(2)依题意得,

d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+2x

=x2-2(a-1)x+a2

=[x-(a-1)]2+(2a-1)

因为x∈[0,+∞),

所以分a-1≥0和a-1<0两种情况讨论.

当a≥1时,=2a-1,即dmin=,

当a<1时,=[0-(a-1)]2+(2a-1)=a2,

即dmin=|a|.

这时恰好抛物线顶点(0,0)与点A(a,0)最近.

所以dmin=f(a)=