Question

4．函数f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}}$）（ω＞0）的最小正周期为π，则y=f（x）的对称中心为（$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，$\frac{1}{2}$），k∈Z．

Answer 1

分析 利用二倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期求得ω，再由相位的终边落在x轴上求得对称中心坐标．

解答 解：f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}}$）
=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{1}{2}$
=sin（2ωx$-\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
∵函数f（x）的最小正周期为π，∴$\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1．
∴f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
由$2x-\frac{π}{6}=kπ$，得x=$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴y=f（x）的对称中心为（$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，$\frac{1}{2}$），k∈Z．
故答案为：（$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，$\frac{1}{2}$），k∈Z．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．