题目内容

5．在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）
几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲合计
男同学124622
女同学081220
合计12121842
在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知两名数学科代表都在选做《不等式选讲》的同学中．
（Ⅰ）求在选做“坐标系与参数方程”的同学中，至少有一名女生参加座谈的概率；
（Ⅱ）记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

分析 （Ⅰ）由分层抽样的原理可知在“坐标系与参数方程”的12位同学中，要选取2位同学，由此能求出至少有一名女生参加座谈的概率．
（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学，由题知X的可能值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由分层抽样的原理可知在“坐标系与参数方程”的12位同学中，要选取2位同学．
令事件A为“在选做“坐标系与参数方程”的同学中，至少有一名女生参加座谈”，
则P（A）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{11}{12}$．…（5分）
（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．
由题知X的可能值为0，1，2．
依题意P（X=0）=$\frac{{C}_{16}^{3}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{35}{51}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{16}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{5}{17}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{16}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{51}$，…（8分）
从而X的分布列为：

X012
P$\frac{35}{51}$$\frac{5}{17}$$\frac{1}{51}$
…（10分）
于是E（X）=$0×\frac{35}{51}+1×\frac{5}{17}+2×\frac{1}{51}$=$\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

练习册系列答案
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 性质定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 
 f（x）     
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优秀非优秀合计
甲302050
乙203050
合计5050100
（1）用分层抽样的方法在优秀学生中选取5人，甲班抽多少人？
（2）从上述5人中选2人，求至少有1名乙班学生的概率；
（3）有多大的把握认为“成绩与班级有关”？
D0.050.010.0050.001
k23.8416.6357.87910.828

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