Question

12．在数列{a_n}中，a₁=1，$\frac{2+{a}_{n+1}}{1+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$+$\frac{3}{2}$（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=1+a${\;}_{{2}^{n}}$（n∈N*），求数列{2nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）移项得$\frac{1}{1+{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，故{$\frac{1}{1+{a}_{n}}$}是等差数列，求出此等差数列的通项公式即可得出a_n；
（2）计算b_n，得出2nb_n，利用错位相减法求出S_n．

解答 解：（1）∵$\frac{2+{a}_{n+1}}{1+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$+$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{1+{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又$\frac{1}{{1+a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{1}{1+{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列．
∴$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n}$-1．
（2）b_n=1+a${\;}_{{2}^{n}}$=$\frac{2}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴2nb_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$，
∴S_n=$\frac{1}{{2}^{-1}}$+$\frac{2}{{2}^{0}}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{4}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-2}}$，①
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，②
①-②得：
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{-1}}$+$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$
=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．
∴S_n=8-$\frac{2+n}{{2}^{n-2}}$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，数列通项的计算与错位相减法数列求和，属于中档题．