Question

16．（文科）已知函数f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$，
（1）当a=3，x∈[-5，-3]时，求f（x）的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（-2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，化简f（x），利用函数f（x）在区间[-5，-3]上的单调性即可求出f（x）的取值范围；
（2）利用分离常数法化简函数f（x），根据f（x）的单调性即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=$\frac{3x+1}{x+2}$=3-$\frac{5}{x+2}$，
所以x∈[-5，-3]时，函数f（x）=3-$\frac{5}{x+2}$单调递增；
且f（-5）=3-$\frac{5}{-5+2}$=$\frac{14}{3}$，f（-3）=3-$\frac{5}{-3+2}$=8，
所以x∈[-5，-3]时，f（x）的取值范围是[$\frac{14}{3}$，8]；
（2）因为函数f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$=$\frac{a（x+2）+1-2a}{x+2}$=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，
当函数f（x）在区间（-2，+∞）是增函数时，
1-2a＜0，解得a＞$\frac{1}{2}$，
所以实数a的取值范围是a＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了利用分离常数法化简函数解析式与求函数的单调性问题，是基础题目．