Question

19．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2AA₁=4．
（1）求证：平面BDC₁∥平面AB₁D₁；
（2）求点C₁到平面AB₁D₁的距离．

Answer 1

分析 （1）通过证明线面平行，证明平面BDC₁∥平面AB₁D₁；
（2）利用等体积法，求点C₁到平面AB₁D₁的距离．

解答 证明：（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C₁∥AD且B₁C₁=AD，
∴B₁C₁DA是平行四边形，
∴C₁D∥B₁A，
∵B₁A?平面AB₁D₁，C₁D?平面AB₁D₁，
∴C₁D∥平面AB₁D₁，
同理BD∥平面AB₁D₁，
∵C₁D∩BD=D，
∴平面BDC₁∥平面AB₁D₁；
解：（2）设点C₁到平面AB₁D₁的距离为h．
∵AB₁=AD₁=2$\sqrt{5}$，B₁D₁=4$\sqrt{2}$，
∴由${V}_{{C}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{3}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2$，
∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴点C₁到平面AB₁D₁的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面平行、平面与平面平行的判定，考查点到平面的距离的计算，正确运用等体积是关键．