Question

10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，
（1）若A，B，C成等差数列，求cosA+cosC的取值范围；
（2）若a，b，c成等比数列，且cosB=$\frac{4}{5}$，求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C=π-B，解得B．根据A的范围，利用和差公式即可得出．
（2）a，b，c成等比数列，可得b²=ac．利用正弦定理可得：sin²B=sinAsinC．cosB=$\frac{4}{5}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．可得$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$，化简即可得出．

解答 解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C=π-B，解得B=$\frac{π}{3}$．
A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，
∴cosA+cosC=cosA+cos$（\frac{2π}{3}-A）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA=sin$（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
（2）a，b，c成等比数列，∴b²=ac．
∴sin²B=sinAsinC．
∴cosB=$\frac{4}{5}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$．
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．