Question

15．函数$y={sin^2}x+2cosx（\frac{π}{3}≤x≤\frac{4π}{3}）$的最大值和最小值分别是（　　）

• A． $\frac{7}{4}$，$-\frac{1}{4}$
• B． $\frac{7}{4}$，-2
• C． 2，$-\frac{1}{4}$
• D． 2，-2

Answer 1

分析 由题意可得y=-（cosx-1）²+2，且cosx∈[-1，$\frac{1}{2}$]，再利用二次函数的性质求得y的最大值和最小值．

解答 解：∵函数$y={sin^2}x+2cosx（\frac{π}{3}≤x≤\frac{4π}{3}）$=1-cos²x+2cosx=-（cosx-1）²+2，∴cosx∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
故当cosx=-1时，即x=π时，函数y取得最小值为-4+2=-2，
当cosx=$\frac{1}{2}$时，即x=$\frac{π}{3}$时，函数y取得最大值为-$\frac{1}{4}$+2=$\frac{7}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．