Question

已知函数f（x）=e^x（x≤1），若f（x）的图象的一条切线与直线x=1及x轴所围成的三角形面积为S，则S的最大值等于（　　）

• A、2
• B、1
• C、e
• D、

  e

  2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：设出切点坐标，求导后得到切线的斜率，由点斜式得到切线方程，求出切线与直线x=1的交点及与x轴的交点坐标，代入三角形面积公式后再由导数求得最大值．

解答：解：设f（x）=e^x（x≤1）的图象上任意一点为（x0，ex0），
∵f′(x0)=ex0，
∴过切点（x0，ex0）的切线方程为y-ex0=ex0(x-x0)．
联立

x=1 y-ex0=ex0(x-x0)

，得y=(2-x0)•ex0．
取y=0，得x=x₀-1．
∴f（x）的图象的一条切线与直线x=1及x轴所围成的三角形面积为：
S=

1

2

(1-x0+1)(2-x0)•ex0=

1

2

(2-x0)2•ex0 （x₀≤1）．
而S′=

1

2

[-2(2-x0)ex0+(2-x0)2ex0]=

1

2

ex0x0(x0-2)．
当x₀∈（-∞，0）时，S′＞0；
当x₀∈（0，1）时，S′＜0．
∴当x₀=0时，S_max=2．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．