Question

数列{an}中，an>0，an≠1，且(n∈N*).

(1)证明：an≠an+1；

(2)若，计算a2，a3，a4的值，并求出数列{an}的通项公式.

 

Answer 1

（1）祥见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用反证法，若an+1=an，即，解得 an=0或1，结论与题干条件矛盾; （2）法一：根据，，求出，，，，观察各项分子通项为3n-1，分母通项为3n-1+1，于是可以写出通项公式an，进而可用数学归纳法加以证明．法二：由(n∈N*)，取倒数得，从而可转化为：这样就可选求出等比数列是以为首项，为公比，从而可写出其通项公式，进而就可求出数列{an}的通项公式．

试题解析：(1)证明：(反证法)若an=an+1，则由(n∈N*)，得，

得an=1，这与已知an≠1相悖，故an≠an+1. 4分

(2)方法一：(举例-猜想-证明)

若，由(n∈N*)得，，

，，猜想：(n∈N*)， 8分

以下用数学归纳法证明：

①当n=1时，，所以当n=1时命题成立； 9分

②假设当n=k时，命题成立，即，

则当n=k+1时，， 12分

所以，当n=k+1时，命题也成立，故(n∈N*)， 13分

由①、②可知，对所有的自然数n，都有(n∈N*). 14分

(说明：其它方法请相应给分)

方法二：(利用数列递推关系求通项公式)

由(n∈N*)，取倒数得，

又，令2+3t=t，解得t=－1，

∴，

∴是以为首项，为公比的等比数列，

∴，∴，∴.

考点：１．反正法；２．数列递推式；３．数学归纳法．