Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=$\sqrt{3}，BC=1，A{A_1}$=AC=2，E，F分别为A₁C₁，BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：C₁F∥平面ABE．

Answer 1

分析 （1）运用直三棱柱侧棱垂直于底面，以及勾股定理的逆定理，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面B₁BCC₁，再由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）取AB的中点G，连接EG，FG，运用平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证．

解答 （1）证明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥AB，∵$AB=\sqrt{3}，BC=1，AC=2$
∴AB⊥BC，
∵BC∩BB₁=B，∴AB⊥平面B₁BCC₁，
又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG，
∵E，F分别是A₁C₁，BC的中点，
∴$FG∥AC，FG=\frac{1}{2}AC$，∵$AC\underline{\underline∥}{A_1}{C_1}$，∴$FG\underline{\underline∥}E{C_1}$，
∴FGEC₁为平行四边形，∴C₁F∥EG，
又EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE．

点评 本题考查面面垂直的判定和线面平行的判断，注意运用线面垂直的判定定理和性质定理，以及线面平行的判定定理，同时考查平面几何的有关知识，考查推理能力，属于中档题．