Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD?平面ABCD，AD＝CD， DB平分∠ADC，E为PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；

（Ⅱ）证明：AC?平面PBD．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等．（Ⅱ）证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥αb⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥βa⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．

试题解析：（Ⅰ ）证明：设AC∩BD＝H，连结EH.

在△ADC中，∵AD＝CD，且DB平分∠ADC，

∴H为AC的中点．

又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.

又EH?平面BDE，且PA?平面BDE，

∴PA∥平面BDE． 6分

（Ⅱ）证明：∵PD?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD?AC．

由(1)可得，DB?AC．

又PD∩DB＝D，故AC?平面PBD． 12分

考点：线面平行、垂直的判定.