Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且AB=$\sqrt{2}$，∠ABC=60°，点A在平PBC上的射影为PB的中点O，PB⊥AC．
（1）求证：PC=PD；
（2）求平面BAP与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ABP、△BCP为等腰三角形，设BP=2x，求解直角三角形可得x值，得到AB⊥AP，取CD中点G，证明PG⊥CD可得答案；
（2）在平面PCD内过P作直线l∥CD，由（1）可得∠APG为平面BAP与平面PCD所成角，利用余弦定理得答案．

解答 （1）证明：如图，
∵点A在平面PBC上的射影为PB的中点O，
∴BO=OP，且AO⊥PB，则AB=AP，
由AO⊥BP，BP⊥AC，可得BP⊥平面AOC，则BP⊥OC，得BC=PC，
设BP=2x，则AO=OC=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-{x}^{2}}$，再由AO²+OC²=AC²，得$2（2-{x}^{2}）=（\sqrt{2}）^{2}$，
解得：x=1，
∴BP=2，则AB²+AP²=BP²，∴AB⊥AP，
取CD中点G，连接AG，则AG⊥CD，又AB∥CD，AB⊥AP，
∴AP⊥CD，则CD⊥平面APG，得CD⊥PG，
∵G为CD中点，∴PC=PD；
（2）解：在平面PCD内过P作直线l∥CD，
∵AB∥CD，由平行公理可得AB∥l，则l为平面BAP与平面PCD的交线，
∵CD⊥平面APG，∴l⊥平面APG，则PA⊥l，PG⊥l，
即∠APG为平面BAP与平面PCD所成角，
在△APG中，由（1）得，AP=$\sqrt{2}$，PG=AG=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠APG=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}{2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴平面BAP与平面PCD所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间中的点、线、面的距离的计算，考查二面角的平面角的求法，考查了空间想象能力和思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．