Question

12．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，且取相同的长度单位．曲线C₁：ρcosθ-2ρsinθ-7=0，和C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=8cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.（{θ为参数}）$．
（1）写出C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程；
（2）已知点P（-4，4），Q为C₂上的动点，求PQ中点M到曲线C₁距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，sin²θ+cos²θ=1进行代换即得．
（2）设出点Q（8cosθ，3sinθ）的坐标，根据中点坐标公式求出M，利用点到直线的距离结合三角函数的有界限可得最小值．

解答 解（1）曲线C₁：ρcosθ-2ρsinθ-7=0，
根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C₁：x-2y-7=0，
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=8cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.（{θ为参数}）$．消去参数，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{8}=cosθ}\\{\frac{y}{3}=sinθ}\end{array}\right.$，
∵sin²θ+cos²θ=1，
∴曲线C₂：$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$，
故得曲线C₁的直角坐标方程x-2y-7=0，曲线C₂的普通方程为$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$．
（2）设曲线C₂上的点Q（8cosθ，3sinθ），则PQ中点为M$（{4cosθ-2，\frac{3sinθ+4}{2}}）$，
M到直线x-2y-7=0的距离为$d=\frac{{|{4cosθ-2-3sinθ-4-7}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{5sin（{θ+α}）-13}|}}{{\sqrt{5}}}$，
∴当sin（θ+α）=1时，d的最小值为$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．属于基础题