Question

10．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过原点O作直线l：y=kx，与抛物线的另一交点为点A，过A作l的垂线交x轴于点B，则下列命题中正确的是（　　）

• A． 存在无数个实数k使得点F为线段OB的中点
• B． 存在唯一的实数k使得点F为线段OB的中点
• C． 不存在实数k使得点F为线段OB的中点
• D． 以上命题都不正确

Answer 1

分析 假设存在实数k使得点F为线段OB的中点，则B（p，0），AB的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-p），与y=kx联立，可得交点坐标，代入y²=2px，验证即可，

解答 解：假设存在实数k使得点F为线段OB的中点，则B（p，0），AB的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-p），
与y=kx联立，可得交点坐标（$\frac{p}{{k}^{2}+1}$，$\frac{pk}{{k}^{2}+1}$），
代入y²=2px，可得（$\frac{pk}{{k}^{2}+1}$）²=2p•$\frac{p}{{k}^{2}+1}$，
∴k²+2=0，方程无解，
∴不存在实数k使得点F为线段OB的中点．
故选：C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．