Question

6．在数列{a_n}中，a₁=-2，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$，则a₂₀₁₁=（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用递推公式得出前6项即可得出其周期性，进而得出答案．

解答 解：∵a₁=-2，∴a2=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}=-\frac{1}{3}$，
∴a3=$\frac{1+{a}_{2}}{1-{a}_{2}}=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$，
∴a4=$\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3$，
∴a5=$\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}=\frac{1+3}{1-3}=-2$，
∴a6=$\frac{1+{a}_{5}}{1-{a}_{5}}=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}$，
…，
∴a_n+4=a_n（n≥2）．
∴a₂₀₁₁=a_502×4+3=a3=$\frac{1}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了数列的递推公式的运用；熟练掌握利用递推公式得出前6项即可得出其周期性是解题的关键．