Question

4．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a的最大值为1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）=m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的最值，求得a，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（2）函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x），再根据定义域和值域，以及正弦函数的图象，数形结合求得m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a的最大值为1，∴2+a=1，∴a=-1，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的图象，
若方程g（x）=m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，则g（x）的图象和直线y=m有2个交点．
设t=2x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，则g（x）=h（t）=sint的图象和直线y=m有2个交点，如图所示：
则-2＜m≤-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．