Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，则不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1））+f（2-x）＞0的解集为（　　）

• A． （2，3）
• B． （1，3）
• C． （0，2）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 先确定f（x）的奇偶性，单调性，将原不等式转化为解不等式：log₂（x-1）+（x-2）＜0，再构造函数得出解集．

解答 解：先判断f（x）的奇偶性，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{{1-2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），即f（x）为R上的奇函数，
再判断f（x）的单调性，f（x）=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$=1-$\frac{2}{2^x+1}$，即f（x）为R上的单调递增函数，
因此，不等式f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1））+f（2-x）＞0可化为：
f[$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1）]＞f（x-2），所以，$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1）＞x-2，
即log₂（x-1）+（x-2）＜0，--------------------①
构造函数，F（x）=log₂（x-1）+（x-2），
该函数在定义域（1，+∞）上单调递增，且F（2）=0，
因此，当1＜x＜2时，F（x）＜0，
所以，不等式①的解集为（1，2），
故答案为：D．

点评 本题主要考查了函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及奇偶性和单调性的判断和证明，并通过构造函数运用单调性解不等式，属于中档题．