Question

13．已知a₁=$\frac{1}{2}$a₂≠0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+1=3S_n-2S_n-1（n≥2），设b_n=$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=nb_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：T₁₀＞109．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式可得n≥2时，a_n+1=2a_n，再由等比数列的通项公式和求和公式，即可得到所求数列的通项公式；
（2）求得c_n=nb_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，运用数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，即可得到所求和，即可得证．

解答 解：（1）由S_n+1=3S_n-2S_n-1（n≥2），可得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1），
即为n≥2时，a_n+1=2a_n，
a₁=$\frac{1}{2}$a₂≠0，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，即数列{a_n}（n∈N*）是以2为公比的等比数列，
故a_n=a₁•2^n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=a₁•（2ⁿ-1），
则b_n=$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．
（2）证明：c_n=nb_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
则T₁₀=2（1+2+…+10）-$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{2}{{2}^{1}}$-$\frac{2}{{2}^{1}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…-$\frac{10}{{2}^{9}}$+$\frac{11}{{2}^{10}}$
=2×$\frac{1}{2}$×10×11-1+$\frac{11}{{2}^{10}}$=109+$\frac{11}{{2}^{10}}$＞109．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：分组求和与裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．