Question

3．（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？

Answer 1

分析 （1）把12个球排成一行，共有11个间隔．若每个间隔之间放一块隔板，则共需要放11块隔板．根据题意，要求将这些球放入四个盒子里，就是求“从11块隔板中任意抽出3块，一共有多少种方法？”的问题；
（2）先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法，可得结论；
（3）因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，建立数学模型求解．

解答 解：（1）根据题意，要求将这些球放入四个盒子里，就是求“从11块隔板中任意抽出3块，一共有多少种方法？”的问题，则可得放法有${C}_{11}^{3}$=$\frac{11×10×9}{3×2×1}$=165，
故不同放法有165种；
（2）先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有${C}_{5}^{3}$=10种；
（3）因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型．将三块隔板与12个球排成一排，则如图000||00000|0000中隔板将这一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入3个，0个，5个，4个小球，这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法．排列的位置有15个，先从这15个位置中选出3个位置放隔板有${C}_{15}^{3}$个选法即排法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以隔板与球的排列法有${C}_{15}^{3}$种，即球的放法有${C}_{15}^{3}$=455（种）．

点评 本题考查排列、组合的应用，考查学生分析转化问题的能力，巧用“隔板”法是解题的关键．