Question

6．若f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²，恒成立，则c的取值范围是c＜-1或c＞2．

Answer 1

分析 求出导函数f'（x）=3x²-x-2=0，得出函数的递减区间（-$\frac{2}{3}$，1），可判断函数的最大值在f（-$\frac{2}{3}$）或f（2）取得，得出2+c＜c²，求解即可．

解答 解：f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，
∴f'（x）=3x²-x-2=0，
∴x=-$\frac{2}{3}$或x=1，
∴函数在（-$\frac{2}{3}$，1）上递减，
∴f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}$+c＜f（2）=2+c．
∴2+c＜c²，
∴c＜-1或c＞2．
故答案为c＜-1或c＞2．

点评 考查了利用导函数判断函数在区间内的最值问题．属于基础题型，应熟练掌握．