Question

8．点A为平面α内一点，点B为平面α外一点，直线AB与平面α成60°角，平面α内有一动点P，当∠ABP=45°时，则动点P的轨迹为（　　）

• A． 椭圆
• B． 圆
• C． 双曲线的一支
• D． 抛物线

Answer 1

分析 根据圆锥曲线的定义，平面α的AB交α于B点，且与α所成角为θ，平面α内一动点C满足∠BAC=φ，可得：①若θ=$\frac{π}{2}$，则动点C的轨迹为圆，②若θ＜$\frac{π}{2}$，且φ＜θ时，动点C的轨迹为椭圆；③若θ＜$\frac{π}{2}$，且φ=θ时，动点C的轨迹为抛物线；④若θ＜$\frac{π}{2}$，且φ＞θ时，动点C的轨迹为双曲线；即可得出．

解答 解：平面α上的动点P满足∠PAB=45°，
可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，
可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．
可知动点P的轨迹是椭圆．
故选：A．

点评 本题考查了空间点线面的关系、圆锥曲线的定义，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．