Question

19．设f（x）定义在R上的函数，且对任意m，n有f（m+n）=f（m）•f（n），且当 x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1，且当x＞0时，有  f（x）＞1；
（2）判断 f（x）在R上的单调性．

Answer 1

分析 （1）已知条件．通过m=1，n=0，求出f（0）=1，设m=x＜0，n=-x＞0，则f（0）=f（x）•f（-x），推出结果即可．
（2）设x₁，x₂是 R上的任意两个值，且x₁＜x₂，则f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，x₂-x₁＞0，利用已知条件以及（1）的结果化简求解即可．

解答 证明：（1）由题意知 f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，则f（1）=f（1）•f（0），
因为当x＞0时，0＜f（x）＜1，所以 f（0）=1，
设m=x＜0，n=-x＞0，则f（0）=f（x）•f（-x），
所以$f（x）=\frac{f（0）}{{f（{-x}）}}=\frac{1}{{f（{-x}）}}＞1$，
即当 x＜0时，有 f（x）＞1．
解：（2）设x₁，x₂是 R上的任意两个值，且x₁＜x₂，则f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，x₂-x₁＞0，
所以0＜f（x₂-x₁）＜1，
因为f（x₂）-f（x₁）=f（（x₂-x₁）+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]，
且f（x₁）＞0，f（x₂-x₁）-1＜0，
∴f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
所以f（x）在R上单调递减．

点评 本题考查抽象函数的应用，考查单调性判断与证明，考查转化思想以及计算能力．