Question

6．已知函数f（x）=-x²+2|x-a|，x∈R．
（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）当x=-1时，函数f（x）在x=-1取得最大值，求实数a的取值范围．
（3）若函数f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由偶函数的定义，可得f（-x）=f（x），化简整理可得a=0；
（2）去绝对值，运用分段函数的形式，写出f（x），讨论当a≥1时，当-1＜a＜1时，当a≤-1时，考虑最大值，解不等式即可得到a的范围；
（3）去绝对值，运用分段函数的形式，写出f（x），讨论两个二次函数的判别式，等于0或大于0，解方程（或不等式）即可得到a的值．

解答 解：（1）任取x∈R，则f（-x）=f（x）恒成立，
即-（-x）²+2|-x-a|=-x²+2|x-a|恒成立，
∴|x-a|=|x+a|恒成立，
两边平方得：x²-2ax+a²=x²+2ax+a²，
∴a=0；
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x-2a，x≥a\\-{x^2}-2x+2a，x＜a\end{array}\right.$，因为函数y=f（x）在x=-1时取得最大值，
当a≥1时，必须f（-1）≥f（a），即1+2a≥-a²+2a-2a，即（a+1）²≥0，所以a≥1适合题意；
当-1＜a＜1时，必须f（-1）≥f（1），即1+2a≥1-2a，即a≥0，所以0≤a＜1适合题意；
当a≤-1时，因为f（-1）＜f（1），不合题意，
综上，实数a的取值范围是[0，+∞）．
（3）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x-2a，x≥a\\-{x^2}-2x+2a，x＜a\end{array}\right.$，
${△_1}={2^2}-4（{-1}）（{-2a}）=4-8a$，${△_2}={（{-2}）^2}-4（{-1}）（{2a}）=4+8a$，
当△₁=0时，$a=\frac{1}{2}$，此时函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x-1，x＞\frac{1}{2}\\-{x^2}-2x+1，x＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$有三个零点1，$-1±\sqrt{2}$；
当△₂=0时，$a=-\frac{1}{2}$，此时函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x+1，x≥-\frac{1}{2}\\-{x^2}-2x-1，x＜-\frac{1}{2}\end{array}\right.$有三个零点$-1，1±\sqrt{2}$；
当△₁＞0，△₂＞0时，即$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$时，方程-x²+2x-2a=0的两根为$x=1±\sqrt{1-2a}$，
方程-x²-2x+2a=0的两根为$x=-1±\sqrt{1+2a}$，
因为$-1-\sqrt{1+2a}＜-1＜a$，所以$1-\sqrt{1-2a}≥a$且$-1+\sqrt{1+2a}≥a$，解得a=0，
或者$1-\sqrt{1-2a}＜a$且$-1+\sqrt{1+2a}＜a$，此时无解，
综上得$a=±\frac{1}{2}$或0．

点评 本题考查函数的奇偶性和最值，以及零点问题的解法，注意运用定义法和分类讨论思想方法，结合二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．