Question

4．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，则△ABC的形状是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等边三角形
• C． 钝角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则即可得出．

解答 解：∵G是△ABC的重心，$\overrightarrow{GA}$=-$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GB}$=$\frac{1}{3}$$（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，$\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}$$（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，
又a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（a-b）$\overrightarrow{AB}$+（a-c）$\overrightarrow{AC}$+（b-c）$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴a-b=a-c=b-c，
∴a=b=c．
∴△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．

点评 本题考查了三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．