Question

12．已知实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，则z=x-y的取值范围是（　　）

• A． [0，3]
• B． [-$\frac{17}{5}$，3]
• C． [-$\frac{17}{5}$，1]
• D． [-$\frac{17}{5}$，0]

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，设z=x-y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x-y经过可行域内的点A，B时，从而得到z=x-y的最值即可．

解答 解：实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，如图的作出可行域（6分）
目标函数：z=x-y，则y=x-z
当目标函数的直线过点A时，Z有最大值．
A点坐标由方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x+5y=25}\end{array}\right.$解得A（1，$\frac{22}{5}$），Z_min=x-y=-$\frac{17}{5}$．（10分）
当目标函数的直线过点B，由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y=-3}\\{3x+5y=25}\end{array}\right.$解得B（5，2）时，Z有最小值Z_max=5-2=3．
则z=x-y的取值范围是[-$\frac{17}{5}$，3]．
故选：B．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．