Question

8．不等式λ（x²+y²+z²）≥xy+2yz对于任意非零实数x，y，z均成立，则实数λ的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由于不等式λ（x²+y²+z²）≥xy+2yz对于任意非零实数x，y，z均成立，依题意，只要考虑x，y，z都大于0的情况即可．不等式两边同除以y²，化为：λ$[（\frac{x}{y}）^{2}+（\frac{z}{y}）^{2}+1]$≥$\frac{x}{y}+2•\frac{z}{y}$，令$\frac{x}{y}$=a＞0，$\frac{z}{y}$=b＞0．则上述不等式化为：a²+b²+1≥$\frac{1}{λ}a+\frac{2}{λ}$b，a＞0，b＞0．通过配方求出λ的取值范围即可得出．

解答 解：由于不等式λ（x²+y²+z²）≥xy+2yz对于任意非零实数x，y，z均成立，求实数λ的最小值．
因此只要考虑x，y，z都大于0的情况即可．
不等式两边同除以y²，化为：λ$[（\frac{x}{y}）^{2}+（\frac{z}{y}）^{2}+1]$≥$\frac{x}{y}+2•\frac{z}{y}$，令$\frac{x}{y}$=a＞0，$\frac{z}{y}$=b＞0．
则上述不等式化为：a²+b²+1≥$\frac{1}{λ}a+\frac{2}{λ}$b，a＞0，b＞0．
配方为：$（a-\frac{1}{2λ}）^{2}$+$（b-\frac{1}{λ}）^{2}$≥$\frac{5-4{λ}^{2}}{4λ}$．
∴0≥$\frac{5-4{λ}^{2}}{4λ}$，解得$0＜λ≤\frac{\sqrt{5}}{2}$．
因此λ的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了恒成立问题的等价转化方法、换元法、配方法、实数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．