Question

2．在数列{a_n}中，a₁=a，a∈Z，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}^{2}-5，{a}_{n}为奇数}\\{\frac{{a}_{n}}{2}，{a}_{n}为偶数}\end{array}\right.$．
（1）若a=1，求a₂，a₃，a₄；
（2）若?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立，求满足题意的整数a构成的集合．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}^{2}-5，{a}_{n}为奇数}\\{\frac{{a}_{n}}{2}，{a}_{n}为偶数}\end{array}\right.$．代入可得a₂，a₃，a₄；
（2）对a进行分类讨论，求出使?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立的a值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵a₁=a=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}^{2}-5，{a}_{n}为奇数}\\{\frac{{a}_{n}}{2}，{a}_{n}为偶数}\end{array}\right.$．
∴a₂=-4，
a₃=-2，
a₄=-1，
（2）①若a为奇数，
则a₂=a²-5为4的整数倍，
则a₃=$\frac{1}{2}$（a²-5）为偶数，
则a₄=$\frac{1}{4}$（a²-5）=a，
解得：a=5，或a=-1，
经检验：a=5，a=-1，均满足?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立，
②若a为偶数，且为8的整数倍，
则a₂=$\frac{1}{2}$a为4的整数倍，
a₃=$\frac{1}{4}$a为偶数，
则a₄=$\frac{1}{8}$a=a，
解得：a=0，
经检验：a=0，满足?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立，
③若a为偶数，且为4的整数倍，但不是8的整数倍，
则a₂=$\frac{1}{2}$a为偶数，但不是4的整数倍，
a₃=$\frac{1}{4}$a为奇数，
则a₄=$\frac{1}{16}$a²-5=a，
解得：a=20，或a=-4，
经检验：a=20，a=-4，均满足?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立，
④若a为偶数，且不为4的整数倍，
则a₂=$\frac{1}{2}$a为奇数，
a₃=$\frac{1}{4}$a²-5为偶数，
则a₄=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$a²-5）=a，
解得：a=10，或a=-2，
经检验：a=10，a=-2，均满足?n∈N^*，均有a_n+3=a_n成立，
综上所述：a_n+3=a_n成立时，a∈{-4，-2，-1，0，5，10，20}

点评 本题考查的知识点是分类讨论思想，数列的递推式，难度中档．