Question

13．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow b$，则$\overrightarrow{AF}$=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$
• B． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow b$
• C． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow b$
• D． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow b$

Answer 1

分析 根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与DC的比，再利用平面向量的线性运算与表示，即可求出要求的向量．

解答 解：如图所示
?ABCD中，△DEF∽△BEA，
∴$\frac{DE}{EB}$=$\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
再由AB=CD可得$\frac{DF}{DC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$；
又$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$；
又$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$）+（$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了两个向量的加减法法则以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，是基础题目．