Question

14．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为$\frac{\sqrt{5}}{5}$R、$\frac{4\sqrt{5}}{5}$R．

Answer 1

分析 根据题意，作出图象，设矩形为ABCD，∠AOB=θ，由题意可得矩形的长和宽，可以将矩形的周长表示出来，利用三角函数化简可得周长最大值，同时可以解出cosθ 和sinθ 的值，即可求得所求．

解答 解：根据题意，如图所示：设矩形为ABCD，∠AOB=θ，
由题意可得矩形的长为2Rcosθ，宽为 Rsinθ，
则矩形的周长为4Rcosθ+2Rsinθ=2$\sqrt{5}$R（$\frac{2}{\sqrt{5}}$cosθ+$\frac{1}{\sqrt{5}}$sinθ）=2$\sqrt{5}$Rsin（θ+φ），
其中sinφ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosφ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
故矩形的周长的最大值等于2$\sqrt{5}$R，此时sin（θ+φ）=1，
分析可得此时sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
故此时矩形的长为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$R，宽为$\frac{\sqrt{5}}{5}$R，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$R、$\frac{4\sqrt{5}}{5}$R．

点评 本题考查三角函数的化简求值，关键是依据题意，将矩形的宽和长以及周长用三角函数表示出来．