Question

19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=AB=BC=4，O是棱AC的中点，G是△AOB的重心，D是PA的中点．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求证：DG∥平面PBC；
（3）求二面角A-PC-B的大小．

Answer 1

分析 （1）证明PA⊥BC，BC⊥AB，即可证明BC⊥平面PAB；
（2）连结OG并延长交AB于点E，连结DO，DE，证明平面DOE∥平面PBC，即可证明DG∥平面PBC；
（3）过点O作OQ∥PC于点Q，连结BQ，证明∠OQB为二面角A-PC-B的平面角，即可求二面角A-PC-B的大小．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵底面ABC是直角三角形，AB=BC，
∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB；…（3分）
（2）证明：连结OG并延长交AB于点E，连结DO，DE
∵G是△AOB的重心，∴OE为AB边上的中线，
∴E为AB边上的中点，
又有D为PA边上的中点，
∴DE∥PB，
同理可得DO∥PC，且DE∩DO=D，
∴平面DOE∥平面PBC，
又有DG?平面DOE，
∴DG∥平面PBC                                  …（7分）
（3）解：过点O作OQ∥PC于点Q，连结BQ，
∵AB=BC且O是棱AC的中点，∴BO⊥AC．
∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC．
又有平面PAC∩平面ABC=AC，且BO?平面ABC，
∴BO⊥平面PAC，
又有OQ⊥PC，∴由三垂线定理得BQ⊥PC，
∴∠OQB为二面角A-PC-B的平面角．                   …（10分）
由已知得OB=OC=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{16+16+16}$=4$\sqrt{3}$，
∵△PAC∽△OQC，
∴$\frac{OQ}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{4\sqrt{3}}$，
∴OQ=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴tan∠OQB=$\sqrt{3}$，
∴∠OQB=60°，即二面角A-PC-B的大小为60°．       …（12分）

点评 本题考查了二面角A-PC-B的大小，考查了线面平行与线面垂直的证明，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．