Question

2．已知等边△ABC的边长为2$\sqrt{3}$，动点P、M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，则|$\overrightarrow{BM}$|²的最小值是（　　）

• A． $\frac{25}{4}$
• B． $\frac{31}{4}$
• C． $\frac{37-6\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{37-2\sqrt{33}}{4}$

Answer 1

分析 画出图形，建立坐标系，求出P的轨迹方程，M的轨迹方程，然后利用方程求解|$\overrightarrow{BM}$|²的最小值．

解答 解：由题△ABC为边长为$2\sqrt{3}$的正三角形，如图建立平面坐标系，

$A（0，3），B（-\sqrt{3}，0），C（\sqrt{3}，0）$，
由$|\overrightarrow{AP}|=1$得点P的轨迹方程为x²+（y-3）²①，
设M（x₀，y₀），由$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$得$P（2{x_0}-\sqrt{3}，2{y_0}）$，
代入①式得M的轨迹方程为${（x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{1}{4}$
记圆心为$N（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$，${|{BM}|_{min}}=|{BN}|-\frac{1}{2}=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查轨迹方程的求法，曲线与方程的关系，几何意义的应用，考查计算能力．