Question

18．已知θ为钝角，且cos（$\frac{π}{4}$-θ）cos（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{1}{8}$．求tanθ的值．

Answer 1

分析 由诱导公式、二倍角的正弦函数化简已知的式子，由θ的范围和二倍角的余弦公式变形，列出方程求出sinθ、cosθ的值，由商的关系求出tanθ的值．

解答 解：∵（$\frac{π}{4}$-θ）+（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{π}{2}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$-θ）cos（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{1}{8}$可化为：
cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}$+θ）]cos（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{1}{8}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$+θ）cos（$\frac{π}{4}$+θ）=$\frac{1}{8}$，则sin（$\frac{π}{2}$+2θ）=cos2θ=$\frac{1}{4}$，
∴cos2θ=1-2sin²θ=2cos²θ-1=$\frac{1}{4}$，
解得sin²θ=$\frac{3}{8}$，cos²θ=$\frac{5}{8}$，
∵θ为钝角，∴sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，cosθ=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查诱导公式、二倍角的正弦函数，二倍角的余弦公式变形的应用，注意角之间的关系和角的范围．