Question

2．已知复数z₁=2+a²+i，z₂=3a+ai（a为实数，i虚数单位）且z₁+z₂是纯虚数．
（1）求a的值，并求z₁²的共轭复数；
（2）求$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知复数z₁，z₂，求出z₁+z₂，再由z₁+z₂是纯虚数列出方程组，求解即可得a的值，进一步求出z₁²，则z₁²的共轭复数可求；
（2）直接把z₁，z₂代入$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解答 解：（1）∵${z_1}=2+{a^2}+i，{z_2}=3a+ai$，
∴${z_1}+{z_2}=（{a^2}+3a+2）+（1+a）i$，
∵z₁+z₂是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+3a+2=0}\\{1+a≠0}\end{array}\right.$，解得a=-2．
∴${{z}_{1}}^{2}=35+12i$．
故$z_1^2$的共轭复数为：35-12i；
（2）$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{2+{a}^{2}+i}{3a+ai}=\frac{2+（-2）^{2}+i}{3×（-2）+（-2）i}=\frac{6+i}{-6-2i}$
=$\frac{（6+i）（-6+2i）}{（-6-2i）（-6+2i）}=\frac{-38+6i}{40}=-\frac{19}{20}+\frac{3}{20}i$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．