题目内容
对于给定首项x＞
（a＞0），由递推公式xn+1=
（xn+
）（n∈N）得到数列{xn}，对于任意的n∈N，都有xn＞
，用数列{xn}可以计算
的近似值．（1）取x=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出xn，xn+1，的大小关系；
（2）当n≥1时，证明：xn-xn+1＜
（xn-1-xn）；（3）当x∈[5，10]时，用数列{xn}计算
的近似值，要求|xn-xn+1|＜10-4，请你估计n，并说明理由．
【答案】分析：（1）利用数列递推式，代入计算，即可得到结论，同时可猜想结论；
（2）作差，利用条件，证明其大于0，即可得到结论；
（3）由题意，只要
，由此可估计n的值．
解答：（1）解：∵x=5，a=100，xn+1=
（xn+
）
∴x1=
（5+
）≈4.74
同理可得x2≈4.67，x3≈4.65
猜想xn＞xn+1；
（2）证明：xn-xn+1-
（xn-1-xn）=
=
∵
；
∴xn-xn+1=
=
＞0
∴xn＞xn+1
∴
；
（3）解：由（2）知
＜…＜
由题意，只要
，即2n＞104（x-x1）
∵
∴n＞
=15.1
∴n=16．
点评：本题考查数列递推式，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
（2）作差，利用条件，证明其大于0，即可得到结论；
（3）由题意，只要
，由此可估计n的值．解答：（1）解：∵x=5，a=100，xn+1=
（xn+）∴x1=
（5+）≈4.74同理可得x2≈4.67，x3≈4.65
猜想xn＞xn+1；
（2）证明：xn-xn+1-
（xn-1-xn）==∵
；∴xn-xn+1=
=＞0∴xn＞xn+1
∴
；（3）解：由（2）知
＜…＜由题意，只要
，即2n＞104（x-x1）∵
∴n＞
=15.1∴n=16．
点评：本题考查数列递推式，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
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