Question

19．已知x、y、u、v∈R，且x+3y-2=0，u+3v+8=0，T=x²+y²+u²+v²-2ux-2vy，则T的最小值为10．

Answer 1

分析 x+3y-2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x-u）+3（y-v）=10．设x-u=m，y-v=n，∴m+3n=10．T=x²+y²+u²+v²-2ux-2vy=（x-u）²+（y-v）²=m²+n²，利用柯西不等式，即可得出结论．

解答 解：x+3y-2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x-u）+3（y-v）=10．
设x-u=m，y-v=n，∴m+3n=10．
T=x²+y²+u²+v²-2ux-2vy=（x-u）²+（y-v）²=m²+n²，
∵（m²+n²）（1+9）≥（m+3n）²，
∴m²+n²≥10，
∴T的最小值为10．
故答案为：10．

点评 本题考查最小值的求法，考查柯西不等式的运用，正确变形是关键．